Formule de taylor à l ordre 2

vant d"énoncer les différentes formules aux Taylor, rappelons qu"elles sont dire formules de MacLaurin aucas elles sont écrites en 0. Dedans la suite, $I$ appeler un intervalle ouvert du $mathbb R$.

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Soit $f:I omathbb R$ rang $ain I$. Conditions météorologiques suppose plus $f$ est $n-1$-fois dérivable dans un voisinage $>a-h,a+h<$ du $a$ et suite $f^(n)(a)$ existe. Alors $f$ reconnaissance un développement pente à l"ordre $n$ en $a$ donnait par$$f(a+h)=f(a)+f"(a) h+dots+fracf^(n)(a)n!h^n+o(h^n).$$


Soit $f:I omathbb R$ rang $a,bin I$. Nous suppose plus $f$ dorient $n-1$ fois dérivable pour un segment $$, rang $n$ fois dérivable d’environ l"intervalle ouvert desprit $>a,b<$. Donc il existe $cin >a,b<$ comme que $$f(b)-sum_k=0^n-1frac(b-a)^kk!f^(k)(a)=fracf^(n)(c)(b-a)^nn!.$$


Soit $f: omathbb R$ aux classe $mathcal C^n+1$. Alors

$$f(b)=f(a)+frac(b-a)1!f"(a)+cdots+frac(b-a)^nn!f^(n)(a)+int_a^b frac(b-t)^nn!f^(n+1)(t)dt.$$

La formule de Taylor auprès reste intégral est d’un généralisation du théorème fondamental de calcul intégral, rang s"obtient moyennant récurrence en exécution des intégrations par parties.


Les le 3 formules ns Taylor précédent sont énoncées du la moindres précise jusqu’à la concède précise. Esquive hypothèsesnécessaires sont aussi de plus en plus fortes. Elles sont aux nature très différentes. La formule aux Taylor-Youngest d’un formule locale, qui étant donné des informations venir voisinage d"un point. C"est eux notamment qui donne l"existencede évolution limités et lequel sert pour sengager des détudes locales de courbes. Les formule ns Taylor-Lagrange (qui devientune inégalité si la d’effet est jusqu’à valeurs vectorielles) envoyer des renseignements pour tout un intervalle.Quant pour formule du Taylor du repos intégral, c"est la seule jusquà donner d’un expression précise du reste. Elleest très avantageux notamment lorsqu"on s"intéresse for régularité de ce reste.

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Les formules précédent se généralisent de fonctions aux plusieurs variables. La recette la plususitée est la formule du Taylor-Young à l"ordre 2 (pour la cherchant d"extrema).

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Théorème (formule ns Taylor-Young jusquà l"ordre 2) : cest $f$ une fonction définie d’environ un d’ouvrir $U$ de$mathbb R^n$ jusquà valeurs dedans $mathbb R^p$ et cest $a$ un point de $U$. Nous suppose plus $f$ est ns classe $C^2$ dessus $U$.Alors nous a:$$f(a+h)=f(a)+sum_i=1^n h_ifracpartial fpartial x_i(a)+frac 12sum_i,j=1^n h_ih_jfracpartial^2 fpartial x_ipartial x_j(a)+o(|h|^2).$$
Plus généralement, dans certains cas on noter $$D^k f(a)(h)^k=sum_i_1,dots,i_k=1^n fracpartial^k fpartial x_i_1cdots partial x_i_k(a)h_i_1cdots h_i_k$$on a les résultats attaché :
Théorème : cette $f$ une d’effet définie pour un ouvert desprit $U$ de$mathbb R^n$ jusquà valeurs à lintérieur $mathbb R^p$ et cette $a$ un point de $U$.
Formule aux Taylor-Young : au cas où $f$ orient $k$ fois différentiable en $a$, alors $$f(a+h)=f(a)+Df(a)(h)+cdots+frac 1k!D^k f(a)(h)^k+o(|h|^k).$$Formule de Taylor-reste intégral : aucas $f$ est du classe $C^k+1$ dessus $U$et au cas où le segment $$est contenu dans $U$, nous a :egineqnarray*f(a+h)&=&f(a)+Df(a)(h)+cdots+frac 1k!D^k f(a)(h)^k\&&quad+int_0^1frac(1-t)^kk!D^k+1f(a+th)(h)^k+1dt.endeqnarray*